微分方程

第15讲 微分方程

概念要点

基本概念

• 定义：含未知函数及其导数与自变量关系的方程
• 阶：未知函数最高阶导数的阶数
• 解的相关概念
  • 解：代入方程恒成立的函数
  • 通解：含独立常数个数=阶数的解
  • 特解：由初始条件确定常数后的解
  • 初始条件：确定通解中常数的条件
• 分类：常微分方程（未知函数为一元函数）、线性/非线性（线性：形如$a_n(x)y^{(n)}+\dots+a_0(x)y=f(x)$）

一阶微分方程求解

• 可分离变量型
  • 直接可分离：$y'=f(x)g(y)$，解法$\int\frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$
  • 换元后可分离：如$\frac{dy}{dx}=f(ax+by+c)$，令$u=ax+by+c$
• 齐次型：$\frac{dy}{dx}=\varphi(\frac{y}{x})$，令$u=\frac{y}{x}$，化为$\frac{du}{\varphi(u)-u}=\frac{dx}{x}$
• 一阶线性：$y'+p(x)y=q(x)$，通解$y=e^{-\int p(x)dx}[\int e^{\int p(x)dx}q(x)dx+C]$
• 特殊类型（仅数一）
  • 伯努利方程：$\frac{dy}{dx}+p(x)y=q(x)y^n$，令$z=y^{1-n}$化为线性方程
  • 全微分方程：$Pdx+Qdy=0$，满足$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，解为$u(x,y)=C$
• 二阶可降阶（仅数一二）
  • $y''=f(x,y')$：令$p=y'$，化为$p'=f(x,p)$
  • $y''=f(y,y')$：令$p=y'$，则$y''=p\frac{dp}{dy}$，化为$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$

高阶线性微分方程

• 二阶常系数齐次
  • 特征方程：$r^2+pr+q=0$
  • 通解：不等实根$r_1\neq r_2$：$C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$；等实根$r_1=r_2$：$(C_1+C_2x)e^{rx}$；复根$\alpha\pm\beta i$：$e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$
• 二阶常系数非齐次
  • 解的结构：齐次通解+非齐次特解
  • 特解设定：$f(x)=P_n(x)e^{\alpha x}$：$y^*=e^{\alpha x}Q_n(x)x^k$；$f(x)=e^{\alpha x}[P_m\cos\beta x+P_n\sin\beta x]$：$y^*=e^{\alpha x}[Q_l^{(1)}\cos\beta x+Q_l^{(2)}\sin\beta x]x^k$（$k$由特征根是否为$\alpha\pm\beta i$确定）
• $n(n>2)$阶常系数齐次：按特征根类型（单实根、k重实根、单复根、二重复根）写通解
• 欧拉方程（仅数一）：$x^2y''+pxy'+qy=f(x)$，令$x=e^t$化为常系数线性方程

应用

• 几何应用：利用切线、法线等几何量建立方程（如例15.21轨迹问题）
• 物理应用（仅数一二）：牛顿定律、冷却定律等（如例15.22飞机滑行、例15.23冷却问题）
• 经济应用（仅数三）：结合经济量关系建立方程

差分方程（仅数三）

• 函数差分：一阶$\Delta y_t=y_{t+1}-y_t$；二阶$\Delta^2 y_t=\Delta y_{t+1}-\Delta y_t$
• 一阶常系数线性差分方程
  • 齐次：$y_{t+1}+ay_t=0$，通解$y_c(t)=C(-a)^t$
  • 非齐次：$y_{t+1}+ay_t=f(t)$，通解=齐次通解+特解（特解按$f(t)$形式设定）

重难点

• 二阶常系数齐次线性微分方程求解
• 欧拉方程（仅数一）

不同数学类别区别

• 数一：含伯努利方程、全微分方程、欧拉方程、物理应用等
• 数二：含二阶可降阶、物理应用，无欧拉方程等
• 数三：含差分方程、经济应用，无伯努利方程等

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**解题策略 **

一、可分离变量的微分方程

标准形式:$\frac{dy}{dx} = f(x)g(y)$

解题策略:

1. 分离变量: 将方程变形为$\frac{1}{g(y)}dy = f(x)dx$。
2. 两边积分:$\int \frac{1}{g(y)}dy = \int f(x)dx + C$。
3. 求解: 计算积分后，得到一个包含 x, y 和任意常数 C 的关系式，即为通解。

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二、齐次微分方程

标准形式:$\frac{dy}{dx} = \varphi\left(\frac{y}{x}\right)$

解题策略:

1. 变量代换: 令$u = \frac{y}{x}$，则$y = ux$。
2. 求导代换: 对$y = ux$两边对 x 求导，得$\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}$。
3. 构造新方程: 将代换式代入原方程，得到$u + x\frac{du}{dx} = \varphi(u)$。
4. 分离变量求解: 整理后得到一个新的可分离变量方程：$\frac{du}{\varphi(u) - u} = \frac{dx}{x}$。
5. 回代: 解出$u$后，用$u = \frac{y}{x}$换回，得到原方程的通解。

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三、一阶线性微分方程

标准形式:$y' + p(x)y = q(x)$

通解公式:
$y = e^{-\int p(x)dx} \left[ \int q(x) e^{\int p(x)dx} dx + C \right]$

1. 推导过程 (积分因子法)

• 在方程两边同时乘以积分因子$e^{\int p(x)dx}$，得：
  $e^{\int p(x)dx} y' + p(x) e^{\int p(x)dx} y = q(x) e^{\int p(x)dx}$
• 方程左边恰好是$\left[ y \cdot e^{\int p(x)dx} \right]'$的形式：
  $\left[ y \cdot e^{\int p(x)dx} \right]' = q(x) e^{\int p(x)dx}$
• 两边对$x$积分，再整理即可得到通解公式。

2. 关于积分因子的绝对值问题

• 在计算积分因子时，若$\int p(x)dx = \ln|\varphi(x)|$，则$e^{\int p(x)dx} = |\varphi(x)| = \pm\varphi(x)$。
• 代入通解公式后，$\pm$号可以被任意常数$C$吸收。因此，在计算积分因子时，可以不必添加绝对值。

3. 不定积分与定积分形式的转化 (用于分析解的性质)

• 核心思想: 不定积分$\int f(x)dx$可表示为“一个变上限积分 + 一个常数”，即$\int f(x)dx = \int_{x_0}^{x} f(t)dt + C_0$。
• 目的: 在研究解的周期性、有界性、求极限等问题时，使用定积分形式更便于处理，尤其是在使用洛必达法则时。
• 通解的定积分形式:
  $y(x) = e^{-\int_{x_0}^{x} p(t)dt} \left[ \int_{x_0}^{x} q(t) e^{\int_{x_0}^{t} p(s)ds} dt + C \right]$
• 优势: 当求极限需要对形如$\frac{\int_{x_0}^{x} f(t)dt}{g(x)}$的表达式求导时，可直接利用微积分基本定理$\frac{d}{dx}\int_{x_0}^{x} f(t)dt = f(x)$，从而简化计算。

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四、伯努利方程

标准形式:$\frac{dy}{dx} + p(x)y = q(x)y^n \quad (n \neq 0, 1)$

解题策略:

1. 变形: 方程两边同除以$y^n$，得$y^{-n}\frac{dy}{dx} + p(x)y^{1-n} = q(x)$。
2. 变量代换: 令$z = y^{1-n}$，则$\frac{dz}{dx} = (1-n)y^{-n}\frac{dy}{dx}$。
3. 构造新方程: 代入后得到一个关于$z$的一阶线性微分方程：
   $\frac{dz}{dx} + (1-n)p(x)z = (1-n)q(x)$
4. 求解与回代: 用一阶线性方程的公式解出$z$，然后用$z = y^{1-n}$换回$y$。

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五、解题思维拓展：交换变量角色

场景: 当方程写成$\frac{dy}{dx}$的形式后难以求解时，可以尝试将 $x$视为$y$的函数，转而求解$\frac{dx}{dy}$。

示例: 求解$y dx + (x - 3y^2)dy = 0$。

• 写成$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3y^2-x}$的形式很复杂。
• 换位思考，求解$\frac{dx}{dy}$：
  $\frac{dx}{dy} = -\frac{x-3y^2}{y} \implies \frac{dx}{dy} + \frac{1}{y}x = 3y$
• 这是一个以$y$为自变量，$x$为未知函数的一阶线性微分方程，可以按标准方法求解。

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六、二阶可降阶微分方程

核心思想: 通过换元法将二阶方程降为一阶方程。

1. 两种类型的核心区别

类型	$y'' = f(x, y')$(不显含$y$)	$y'' = f(y, y')$(不显含$x$)
缺少的变量	未知函数$y$	自变量$x$
换元	令$p=y'$，则$y'' = \frac{dp}{dx}$	令$p=y'$，则$y'' = p \frac{dp}{dy}$(链式法则)
降阶后方程	关于$x, p$的一阶方程：$\frac{dp}{dx} = f(x, p)$	关于$y, p$的一阶方程：$p \frac{dp}{dy} = f(y, p)$

2. 两个$p$的区别 (核心：$p$依赖的变量不同)

• 类型(1)的$p$:$p = y' = p(x)$，是自变量$x$的函数。
• 类型(2)的$p$:$p = y'$，但通过链式法则$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx}$把它视为因变量$y$的函数，即$p=p(y)$。

3. 换元的逻辑总结

• 缺$y$型: 直接对$x$求导，$p$是$x$的函数。
• 缺$x$型: 用链式法则，绕开$x$对$y$求导，$p$是$y$的函数。
• 都缺型 ($y''=f(y')$): 两种方法均可，通常用缺$y$型的方法更简单。

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七、全微分方程

标准形式:$P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0$
判别条件: 在单连通区域内，若$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$，则该方程为全微分方程。
通解:$u(x, y) = C$，其中$du = Pdx + Qdy$。
求解方法:

1. 凑微分法: 观察并组合各项，凑成常见全微分形式，如$d(xy), d(\frac{y}{x}), d(x^2+y^2)$等。
2. 偏积分法: 先对$P$或$Q$积分，再求导比较，确定任意函数。
3. 线积分法: 选择简单路径（如折线）计算线积分$\int Pdx + Qdy$。

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八、高阶线性微分方程

1. n阶常系数齐次线性微分方程

标准形式:$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \dots + a_n y = 0$
特征方程:$r^n + a_1 r^{n-1} + \dots + a_n = 0$
解法与二阶类似，根据特征根的实根、复根、重根情况写出通解。

特征根与解的对应关系

n阶常系数齐次线性微分方程的通解由其特征方程的根（特征根）决定，不同类型的特征根对应不同形式的解，且解的总数为n个（与方程阶数一致）。

1. 单实根$r$

• 特征根形式：特征方程有一个单实根$r$（即$r$是特征方程的根，且只出现1次）。

• 对应解的形式：
  $y = C e^{rx}$
  其中$C$为任意常数，$e^{rx}$是方程的一个线性无关解。

• 示例：若特征方程有单实根$r = 2$，则对应解为$y = C e^{2x}$。

2.$k$重实根$r$

• 特征根形式：特征方程有一个$k$重实根$r$（即$r$是特征方程的根，且重复出现$k$次，$1 < k \leq n$）。

• 对应解的形式：
  $y = (C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + \dots + C_k x^{k-1}) e^{rx}$
  其中$C_1, C_2, \dots, C_k$为任意常数，$e^{rx}, x e^{rx}, \dots, x^{k-1} e^{rx}$是$k$个线性无关的解（通过乘以$x^0, x^1, \dots, x^{k-1}$保证线性无关）。

• 示例：若特征方程有二重实根$r = 3$（$k=2$），则对应解为
  $y = (C_1 + C_2 x) e^{3x}$

3. 单共轭复根$\alpha \pm \beta i$（$\beta \neq 0$）

• 特征根形式：特征方程有一对单共轭复根$\alpha + \beta i$和$\alpha - \beta i$（因方程系数为实数，复根必成对出现，且只各出现1次）。

• 对应解的形式：
  利用欧拉公式$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$，将复数解转化为实函数形式：
  $y = e^{\alpha x} (C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x)$
  其中$C_1, C_2$为任意常数，$e^{\alpha x}\cos\beta x$和$e^{\alpha x}\sin\beta x$是两个线性无关的实解。

• 示例：若特征方程有单共轭复根$2 \pm 3i$（$\alpha=2, \beta=3$），则对应解为
  $y = e^{2x} (C_1 \cos3x + C_2 \sin3x)$

4.$k$重共轭复根$\alpha \pm \beta i$（$\beta \neq 0$）

• 特征根形式：特征方程有一对$k$重共轭复根$\alpha + \beta i$和$\alpha - \beta i$（即每个复根重复出现$k$次，$1 < k \leq n/2$）。

• 对应解的形式：
  在单共轭复根解的基础上，乘以$x^0, x^1, \dots, x^{k-1}$以获得$2k$个线性无关的实解：
  $y = e^{\alpha x} \left[ (C_1 + C_2 x + \dots + C_k x^{k-1}) \cos\beta x + (D_1 + D_2 x + \dots + D_k x^{k-1}) \sin\beta x \right]$
  其中$C_1,\dots,C_k, D_1,\dots,D_k$为任意常数。

• 示例：若特征方程有二重共轭复根$1 \pm 2i$（$k=2$），则对应解为
  $y = e^{x} \left[ (C_1 + C_2 x) \cos2x + (D_1 + D_2 x) \sin2x \right]$

通解的结构

n阶常系数齐次线性微分方程的通解是上述所有线性无关解的线性组合，即：
$\text{通解} = \sum \text{（各特征根对应的线性无关解的线性组合）}$

核心逻辑：特征根的类型（实根/复根）和重数决定解的形式，单根对应基础解，重根通过乘以$x^m$（$m=1,2,\dots,k-1$）补充解，最终保证通解含n个任意常数（与方程阶数一致）。

示例：求四阶方程$y^{(4)} - 2y'' + y = 0$的通解

1. 特征方程：$r^4 - 2r^2 + 1 = 0$，因式分解为$(r^2 - 1)^2 = 0$，即$(r-1)^2(r+1)^2 = 0$。
2. 特征根：二重实根$r=1$（$k=2$）和二重实根$r=-1$（$k=2$）。
3. 对应解：
   • 二重实根$r=1$：$(C_1 + C_2 x) e^{x}$
   • 二重实根$r=-1$：$(C_3 + C_4 x) e^{-x}$
4. 通解：
   $y = (C_1 + C_2 x) e^{x} + (C_3 + C_4 x) e^{-x}$

2. 二阶常系数非齐次线性微分方程

标准形式:$y'' + py' + qy = f(x)$
解的结构: 通解$y$= 对应齐次方程的通解$y_h$+ 自身的一个特解$y_p$（非齐次通解 = 齐次通解 + 非齐次特解）

共振修正的通用说明

当非齐次项的“特征值”（如指数项的$\alpha$、三角函数的$i\beta$）是齐次方程的特征根时（即$F(\lambda)=0$，$\lambda$为特征值），直接计算特解会出现“分母为0”的问题，这种情况称为共振。
修正规则：若$\lambda$是$F(D)=0$的$k$重特征根（即$F(\lambda)=F'(\lambda)=\dots=F^{(k-1)}(\lambda)=0$，但$F^{(k)}(\lambda)\neq0$），则特解需乘以$x^k$，即：
$\frac{1}{F(D)}f(x) = x^k \cdot \frac{1}{F^{(k)}(\lambda)}f(x)$
（$F^{(k)}(\lambda)$为$F(D)$的$k$阶导数在$\lambda$处的值）。

求特解$y_p$的方法：微分算子法
记$D = \frac{d}{dx}$，方程为$F(D)y = f(x)$，则特解$y_p = \frac{1}{F(D)}f(x)$。

类型一：指数函数型$\boldsymbol{\frac{1}{F(D)} e^{\alpha x}}$

• 特征值：$\lambda = \alpha$（对应指数项$e^{\alpha x}$的特征值）。
• 非共振（$\alpha$不是特征根）: 若$F(\alpha) \neq 0$，则$y_p = \frac{1}{F(\alpha)} e^{\alpha x}$
• 共振修正（$\alpha$是特征根）:
  • 单特征根（$F(\alpha)=0$，$F'(\alpha)\neq0$）：$y_p = x \cdot \frac{1}{F'(\alpha)} e^{\alpha x}$
  • 二重特征根（$F(\alpha)=F'(\alpha)=0$，$F''(\alpha)\neq0$）：$y_p = x^2 \cdot \frac{1}{F''(\alpha)} e^{\alpha x}$

好的！我将用 “直接替换$D^2 = -\beta^2$” 的方法重新解释三角函数型特解的求法，避免使用欧拉公式和复数。这种方法更直观，但需要记住特殊情况的公式。

类型二：三角函数型$\boldsymbol{\frac{1}{F(D)} \sin(\beta x)}$或$\boldsymbol{\cos(\beta x)}$

核心规则（无需复数）

1. 直接替换$D^2 = -\beta^2$(即代入$D = -\beta i$)：
   将算子多项式中的 所有$D^2$项替换为$-\beta^2$，$D$的一次项保留（若存在）。

   • 例如：$F(D) = D^2 + pD + q \quad \Rightarrow \quad F(D) \rightarrow -\beta^2 + pD + q$。

2. 非共振情况（$F(-\beta^2) \neq 0$）：
   若替换后算子中不含$D$（即原算子不含一次项$pD$），直接计算：

   $$\frac{1}{F(D)} \sin(\beta x) = \frac{1}{F(-\beta^2)} \sin(\beta x) \quad \text{或} \quad \frac{1}{F(D)} \cos(\beta x) = \frac{1}{F(-\beta^2)} \cos(\beta x)$$

3. 含一次项$pD$的处理：
   若替换后算子含$D$（即原算子含一次项$pD$），需通过 平方差公式 转化为不含$D$的形式：

   $$\frac{1}{-\beta^2 + pD + q} \sin(\beta x) = \frac{1}{(q - \beta^2) + pD} \cdot \frac{(q - \beta^2) - pD}{(q - \beta^2) - pD} \sin(\beta x)$$

   化简后，利用$D \sin(\beta x) = \beta \cos(\beta x)$和$D \cos(\beta x) = -\beta \sin(\beta x)$进一步计算。

共振情况（$F(-\beta^2) = 0$）

若替换后分母为 0（即$q - \beta^2 = 0$），说明$\pm i\beta$是特征根，需 共振修正：

$$\frac{1}{F(D)} \sin(\beta x) = x \cdot \frac{1}{F'(D)} \sin(\beta x) \quad \text{或} \quad \frac{1}{F(D)} \cos(\beta x) = x \cdot \frac{1}{F'(D)} \cos(\beta x)$$

其中$F'(D)$是$F(D)$对$D$的导数，再替换$D^2 = -\beta^2$计算。

示例1：非共振情况（不含一次项）

求$\frac{1}{D^2 + 4} \sin(3x)$。

1. 替换$D^2 = -3^2 = -9$：

   $$\frac{1}{D^2 + 4} \rightarrow \frac{1}{-9 + 4} = -\frac{1}{5}$$

2. 特解：

   $$y_p = -\frac{1}{5} \sin(3x)$$

示例2：非共振情况（含一次项）

求$\frac{1}{D^2 + D + 2} \cos(2x)$。

1. 替换$D^2 = -2^2 = -4$：

   $$\frac{1}{D^2 + D + 2} \rightarrow \frac{1}{-4 + D + 2} = \frac{1}{D - 2}$$

2. 平方差公式：

   $$\frac{1}{D - 2} \cdot \frac{D + 2}{D + 2} = \frac{D + 2}{D^2 - 4} \rightarrow \frac{D + 2}{-4 - 4} = -\frac{1}{8}(D + 2)$$

3. 作用于$\cos(2x)$：

   $$-\frac{1}{8}(D + 2) \cos(2x) = -\frac{1}{8}(-2\sin(2x) + 2\cos(2x)) = \frac{1}{4}\sin(2x) - \frac{1}{4}\cos(2x)$$

示例3：共振情况

求$\frac{1}{D^2 + 4} \sin(2x)$（对应方程$y'' + 4y = \sin(2x)$）。

1. 替换$D^2 = -2^2 = -4$，分母为 0，说明共振（$\pm 2i$是特征根）。

2. 共振修正：

   $$\frac{1}{D^2 + 4} \sin(2x) = x \cdot \frac{1}{2D} \sin(2x)$$

3. 计算$\frac{1}{2D} \sin(2x)$：

   $$\frac{1}{2D} \sin(2x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot (-\cos(2x)) = -\frac{1}{4}\cos(2x)$$

4. 特解：

   $$y_p = -\frac{x}{4} \cos(2x)$$

关键总结

1. 替换$D^2 = -\beta^2$：直接处理二次项，保留一次项$D$。
2. 含一次项时：用平方差公式$\frac{1}{a + bD} = \frac{a - bD}{a^2 - b^2D^2}$，再替换$D^2 = -\beta^2$。
3. 共振修正：若替换后分母为 0，乘$x$并对$F(D)$求导后继续计算。

类型三：多项式型$\boldsymbol{\frac{1}{F(D)} P_k(x)}$

• 核心: 将$\frac{1}{F(D)}$按$D$的升幂展开（泰勒展开或长除法），保留到$D^k$项（因$D^{k+1}P_k(x)=0$，高阶项作用后为0），再作用于多项式$P_k(x)$。
• 示例:$\frac{1}{1+D} P_k(x) = (1 - D + D^2 - \dots + (-1)^k D^k) P_k(x)$（展开至$D^k$项）。
• 含因子$D^m$的情况: 若$F(D) = D^m G(D)$（$G(0) \neq 0$），则$\frac{1}{F(D)}P_k(x) = \frac{1}{D^m} \cdot \frac{1}{G(D)}P_k(x)$，先按多项式规则算$\frac{1}{G(D)}P_k(x)$，再积分$m$次（$\frac{1}{D^m}$表示$m$重积分）。

类型四：指数与实函数乘积型$\boldsymbol{\frac{1}{F(D)} e^{\alpha x}v(x)}$(指数平移定理)

• 核心: 利用“指数平移”简化算子，将指数项移至算子外，算子内$D$替换为$D+\alpha$：
  $y_p = \frac{1}{F(D)} [e^{\alpha x}v(x)] = e^{\alpha x} \cdot \frac{1}{F(D+\alpha)} v(x)$
• 后续步骤: 对$\frac{1}{F(D+\alpha)}v(x)$，根据$v(x)$的类型（多项式、三角函数等），用类型二、三的方法求解（含共振修正时，按$F(D+\alpha)$的特征根处理）。

总结：微分算子法的核心是通过“代入特征值”判断共振，利用“指数平移”分离指数项，结合“幂级数展开”处理多项式，最终将微分运算转化为代数运算，高效求解特解。共振修正的关键是通过乘以$x^k$消除算子的零点，确保特解有效。

3. 欧拉方程

二阶欧拉方程的一般形式为：
$x^2 y'' + p x y' + q y = f(x) \quad (x \neq 0, \, p, q \text{ 为常数})$
其特点是：系数为$x$的幂次，且幂次与导数阶数匹配（$x^2$对应$y''$，$x$对应$y'$，常数对应$y$），属于变系数线性微分方程。

一、核心思想

通过变量代换消除“变系数”，将其转化为常系数线性微分方程（常系数方程解法成熟）。无论$x > 0$还是$x < 0$，转换逻辑一致，仅代换细节略有差异。

二、求解步骤（适用于$x \neq 0$）

步骤1：变量代换（确保$t$为实数）

• 若$x > 0$：令$t = \ln x$（即$x = e^t$，$t \in \mathbb{R}$）；
• 若$x < 0$：令$t = \ln(-x)$（即$-x = e^t \implies x = -e^t$，$t \in \mathbb{R}$）。

步骤2：导数转换（关键！两种情况公式统一）

无论$x > 0$还是$x < 0$，通过链式法则推导，均可得到以下转换关系：

1. 一阶导数$x y'$的转换：
   由$t = \ln|x|$（统一表示$x > 0$时的$\ln x$和$x < 0$时的$\ln(-x)$），则$\frac{dt}{dx} = \frac{1}{x}$（验证：$x > 0$时$\frac{d}{dx}\ln x = \frac{1}{x}$；$x < 0$时$\frac{d}{dx}\ln(-x) = \frac{1}{x}$）。
   对$y$求导（复合函数法则）：
   $y' = \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dt} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dt}$
   两边乘$x$，得：
   $x y' = \frac{dy}{dt}$

2. 二阶导数$x^2 y''$的转换：
   对$y' = \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dt}$再求导（乘积法则）：
   $y'' = \frac{d}{dx}\left( \frac{1}{x} \cdot \frac{dy}{dt} \right) = -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x} \cdot \frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dt} \right)$
   其中$\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dt} \right) = \frac{d^2 y}{dt^2} \cdot \frac{dt}{dx} = \frac{d^2 y}{dt^2} \cdot \frac{1}{x}$，代入得：
   $y'' = -\frac{1}{x^2} \cdot \frac{dy}{dt} + \frac{1}{x^2} \cdot \frac{d^2 y}{dt^2}$
   两边乘$x^2$，得：
   $x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}$

步骤3：化为常系数方程（统一形式）

将$x y' = \frac{dy}{dt}$和$x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}$代入原欧拉方程：
$\left( \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt} \right) + p \cdot \frac{dy}{dt} + q y = f(x)$
整理为关于$t$的二阶常系数线性微分方程：
$\frac{d^2 y}{dt^2} + (p - 1) \frac{dy}{dt} + q y = f\left( \begin{cases} e^t & (x > 0) \\ -e^t & (x < 0) \end{cases} \right)$

步骤4：求解与回代（分情况处理）

1. 求解常系数方程：
   用常系数线性方程的解法（特征方程法求齐次通解，微分算子法/待定系数法求特解），得到通解$y = y(t)$（含两个任意常数）。

2. 回代变量（分$x > 0$和$x < 0$）：

   • 若$x > 0$：$t = \ln x \implies y = y(\ln x)$；
   • 若$x < 0$：$t = \ln(-x) \implies y = y(\ln(-x))$。

步骤5：统一通解形式（$x \neq 0$）

对比两种情况的通解：

• $x > 0$时，通解含$x^k$（因$e^{kt} = (e^t)^k = x^k$）；
• $x < 0$时，通解含$(-x)^k$（因$e^{kt} = (-x)^k$）。

可统一表示为含 $|x|^k$ 的形式（因$|x| = x$当$x > 0$，$|x| = -x$当$x < 0$），即：
$y(x) = C_1 |x|^{k_1} + C_2 |x|^{k_2} + y^*(x)$
（其中$k_1, k_2$为特征根，$y^*(x)$为非齐次特解，$C_1, C_2$为任意常数）。

三、示例：求解$x^2 y'' + 2x y' - 6y = 0$（齐次欧拉方程）

1. 变量代换：

   • $x > 0$时，$t = \ln x$；$x < 0$时，$t = \ln(-x)$。

2. 导数转换：
   $x y' = \frac{dy}{dt}$，$x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}$。

3. 化为常系数方程：
   代入得$\frac{d^2 y}{dt^2} + \frac{dy}{dt} - 6y = 0$，特征方程$r^2 + r - 6 = 0$，根为$r_1 = 2$，$r_2 = -3$，齐次通解$y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-3t}$。

4. 回代与统一：

   • $x > 0$：$y = C_1 x^2 + C_2 x^{-3}$；
   • $x < 0$：$y = C_1 (-x)^2 + C_2 (-x)^{-3} = C_1 |x|^2 + C_2 |x|^{-3}$。

   统一为：$y = C_1 |x|^2 + C_2 |x|^{-3}$。

四、核心总结

1. 变量代换：$t = \ln|x|$（确保$t$为实数，统一$x > 0$和$x < 0$的推导）；
2. 导数转换：$x y' = \frac{dy}{dt}$，$x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}$（公式对$x \neq 0$均成立）；
3. 求解逻辑：转化为常系数方程→求解→回代→统一为含$|x|^k$的通解。

欧拉方程的求解核心是通过变量代换消除“变系数”，两种取值范围的处理逻辑一致，仅回代时的变量表达式略有差异，最终可统一表达。

4. n（$n>2$）阶常系数齐次线性微分方程的解结构

1. 特征根与解的对应关系

设特征方程的根为$r$（实根）或$\alpha \pm i\beta$（共轭复根），解的形式由根的类型决定：

特征根类型	解的形式（对应齐次方程的解）	公式（$\boldsymbol{C_i}$为任意常数）
单实根$r$	指数函数形式	$C e^{r x}$
$k$重实根$r$	指数函数乘以多项式（最高次为$x^{k-1}$）	$(C_1 + C_2 x + C_3 x^2 + \dots + C_k x^{k-1}) e^{r x}$（注：一般$k \leq 3$，依重数定）
单复根$\alpha \pm i\beta$	指数函数乘以三角函数（无$x$因子）	$e^{\alpha x} \left( C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x \right)$
二重复根$\alpha \pm i\beta$	指数函数乘以三角函数（含$x$因子的修正项）	$e^{\alpha x} \left( C_1 \cos\beta x + C_2 \sin\beta x + C_3 x\cos\beta x + C_4 x\sin\beta x \right)$

2. 解与根的“最低重数”关系（注）

解的形式隐含特征根的最低重数：

1. 若解含$\boldsymbol{e^{rx}}$，则$r$至少是 单实根（如二重根的解可退化为单根解，令高次项系数为0）。
2. 若解含$\boldsymbol{x^{k-1}e^{rx}}$，则$r$至少是 $k$重实根（低重数无法产生$x^{k-1}$项）。
3. 若解含$\boldsymbol{e^{\alpha x}\cos\beta x}$或$\boldsymbol{e^{\alpha x}\sin\beta x}$，则$\alpha \pm i\beta$至少是 单复根（单复根对应无$x$的三角解）。
4. 若解含$\boldsymbol{e^{\alpha x}x\cos\beta x}$或$\boldsymbol{e^{\alpha x}x\sin\beta x}$，则$\alpha \pm i\beta$至少是 二重复根（二重复根才会引入$x$乘以三角的修正项）。

核心逻辑：解的形式由特征根的重数和类型（实/复）决定，高重数根会引入多项式因子（$x^k$）或含$x$的三角因子，体现“共振修正”的推广（n阶方程中重根的解结构）。

Q&A

微分方程任意阶可导.

不定积分可表示为可变上限的定积分加常数

在一阶线性微分方程的通解公式中，不定积分与定积分的转化核心是利用“不定积分可表示为可变上限的定积分加常数”的性质，目的是更清晰地处理极限问题（尤其是后续用洛必达法则求导时）。以下结合例题具体解释：

1. 不定积分与定积分的本质联系

不定积分$\int f(x)dx$的结果是“$f(x)$的全体原函数”，其表达式可写为：

$$\int f(x)dx = \int_{x_0}^{x} f(t)dt + C_0$$

其中：

• $\int_{x_0}^{x} f(t)dt$是“以$x_0$为下限、$x$为上限的定积分”，它是$f(x)$的一个具体原函数（不含任意常数）；
• $C_0$是积分常数（由不定积分的“全体原函数”性质决定）。

2. 例题中不定积分转定积分的具体过程

在例15.9中，微分方程为一阶线性方程$y' + ey = (1-\frac{1}{x})^x$，其通解公式为：

$$y = e^{-\int p(x)dx} \left[ \int e^{\int p(x)dx} \cdot q(x)dx + C \right]$$

其中：

• $p(x) = e$，故$\int p(x)dx = ex$，$e^{\int p(x)dx} = e^{ex}$，$e^{-\int p(x)dx} = e^{-ex}$；
• $q(x) = (1-\frac{1}{x})^x$，因此通解中的不定积分项为$\int (1-\frac{1}{x})^x \cdot e^{ex}dx$。

根据不定积分与定积分的联系，上述不定积分可写为：

$$\int (1-\frac{1}{x})^x \cdot e^{ex}dx = \int_{x_0}^{x} (1-\frac{1}{t})^t \cdot e^{et}dt + C_0$$

（$x_0$是某个固定下限，$C_0$是积分常数）。

将其代入通解公式，得：

$$y = e^{-ex} \left[ \int_{x_0}^{x} (1-\frac{1}{t})^t \cdot e^{et}dt + C_0 + C \right]$$

由于$C$和$C_0$都是任意常数，可合并为一个新的任意常数（仍记为$C$），因此通解可简化为：

$$y = e^{-ex} \left[ \int_{x_0}^{x} (1-\frac{1}{t})^t \cdot e^{et}dt + C \right]$$

3. 转化的目的：便于计算极限

后续需要求$\lim_{x \to +\infty} y(x)$，此时定积分形式的优势体现为：
根据微积分基本定理，可变上限的定积分对上限求导时，结果等于被积函数，即：

$$\frac{d}{dx} \int_{x_0}^{x} (1-\frac{1}{t})^t \cdot e^{et}dt = (1-\frac{1}{x})^x \cdot e^{ex}$$

这使得在应用洛必达法则（分子分母均趋于无穷时）时，可直接对分子（定积分）求导得到被积函数，大大简化了极限计算过程：

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\int_{x_0}^{x} (1-\frac{1}{t})^t \cdot e^{et}dt + C}{e^{ex}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(1-\frac{1}{x})^x \cdot e^{ex}}{e \cdot e^{ex}}$$

总结

不定积分转化为定积分，本质是用“具体的原函数（可变上限定积分）”替代“全体原函数（不定积分）”，并将不定积分中的常数与通解公式中的$C$合并，最终目的是在求极限时能直接利用微积分基本定理求导，简化计算。

二阶可降阶微分方程(用换元法化为一阶方程)

要理解二阶可降阶微分方程的两种换元方法及$p$的区别，需从方程结构（缺$\boldsymbol{y}$还是缺$\boldsymbol{x}$）和导数的链式法则入手，核心是降阶（把二阶方程化为一阶方程）：

一、两种类型的核心区别

类型	$y'' = f(x, y')$（不显含$\boldsymbol{y}$）	$y'' = f(y, y')$（不显含$\boldsymbol{x}$）
缺少的变量	未知函数$y$	自变量$x$
$\boldsymbol{y''}$的推导	$y'' = \frac{dp}{dx}$（$p = y'$是$x$的函数）	$y'' = p \cdot \frac{dp}{dy}$（$p = y'$通过$y$依赖$x$，用链式法则）
降阶后方程的变量	$x, p$（一阶方程：$\frac{dp}{dx} = f(x, p)$）	$y, p$（一阶方程：$p \cdot \frac{dp}{dy} = f(y, p)$）

二、两个$\boldsymbol{p}$的区别（核心：$\boldsymbol{p}$依赖的变量不同）

两种类型中，换元均令$p = y'$，但**$p$的“身份”不同**：

1. 类型(1)的$\boldsymbol{p}$：
   $p = y' = p(x)$，直接是自变量$x$的函数（因为方程含$x$，可直接对$x$求导，无需中转）。

2. 类型(2)的$\boldsymbol{p}$：
   $p = y'$，但方程不含$x$，无法直接对$x$求导。此时通过链式法则：

   $$y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy} \cdot \frac{dy}{dx} = p \cdot \frac{dp}{dy}$$

   这要求把$p$视为因变量$y$的函数（$p = p(y)$），通过$y$间接依赖$x$。

三、为什么要这样换元？（降阶的必要性）

二阶微分方程的求解难度远高于一阶，降阶是唯一出路：

• 对**缺$y$**的方程，直接令$p = y'$，将$y''$转化为$p'$，方程降为一阶（含$x, p$）；
• 对**缺$x$**的方程，若仍直接对$x$求导，会引入$x$（但方程不含$x$，无法闭合），因此必须用链式法则将$y''$转化为$p \cdot \frac{dp}{dy}$，消去$x$，使方程仅含$y, p$，从而降为一阶。

四、举例验证（直观理解）

例1：类型(1)$y'' = x y'$（缺$y$）

• 令$p = y'$，则$y'' = \frac{dp}{dx}$，方程变为$\frac{dp}{dx} = x p$（一阶可分离变量方程）；
• 解得$p = C_1 e^{\frac{x^2}{2}}$，即$y' = C_1 e^{\frac{x^2}{2}}$，再积分得$y = C_1 \int e^{\frac{x^2}{2}} dx + C_2$。

例2：类型(2)$y'' = y y'$（缺$x$）

• 令$p = y'$，则$y'' = p \cdot \frac{dp}{dy}$，方程变为$p \cdot \frac{dp}{dy} = y p$；
• 若$p \neq 0$，约去$p$得$\frac{dp}{dy} = y$，解得$p = \frac{y^2}{2} + C_1$，即$\frac{dy}{dx} = \frac{y^2}{2} + C_1$；
• 分离变量积分：$\int \frac{dy}{\frac{y^2}{2} + C_1} = \int dx$，进一步求解通解。

总结：换元的逻辑

• 缺$\boldsymbol{y}$：直接对$\boldsymbol{x}$求导，$\boldsymbol{p}$是$\boldsymbol{x}$的函数；
• 缺$\boldsymbol{x}$：用链式法则转对$\boldsymbol{y}$求导，$\boldsymbol{p}$是$\boldsymbol{y}$的函数。
• 都缺的话用**缺$\boldsymbol{y}$**的方法

两种换元都是为了消除二阶导数，构造一阶方程，而具体形式由方程“缺少的变量”决定——缺谁，就绕开谁求导（缺$y$就直接对$x$，缺$x$就通过$y$中转）。

如何理解特解和通解？

特解和通解是针对微分方程解的结构设计的概念，核心区别在于“常数的确定性”：

• 通解：含独立常数的一般表达式，常数个数等于方程的阶数（如二阶方程含2个独立常数）。这些常数不能通过恒等变形合并（否则不独立），通解的意义是“包含方程所有可能的解”，通过给常数赋值可得到具体解。
• 特解：通解中常数被初始条件确定后的具体解（不含未确定的常数）。初始条件的个数等于方程阶数（如二阶方程需2个条件），目的是唯一确定通解中的常数，得到满足特定条件的解。

例如：一阶线性方程$y'=2x$的通解为$y=x^2+C$（1个常数，对应一阶），若初始条件$y(0)=3$，特解为$y=x^2+3$（常数确定为3）。

通解中的常数“在一定范围内任意取值”的含义（为何未必是全体实数）？

通解中的“任意常数”并非绝对“任意”，其取值范围受方程结构特征（如含对数、开方）或实际意义（如长度、温度）限制，需保证解的数学有效性或物理合理性。

例如：

• 微分方程$\frac{y\mathrm{d}y}{1+y^2}=\frac{\mathrm{d}x}{x(1+x^2)}$的通解为$(1+x^2)(1+y^2)=Cx^2$，其中$C>0$（因左边恒为正，右边$x^2>0$，故$C$必为正，否则等式不成立）。
• 若方程描述温度变化，常数不能使温度为负（实际意义限制）。

本质是常数的取值需满足方程中函数的定义域（如对数真数>0、平方非负）或实际背景的合理性，而非无限制的全体实数。

一阶线性微分方程通解公式中，“$e^{\int p(x)dx}=|\varphi(x)|$可不加绝对值”的原因？

这是因为绝对值的正负号可被任意常数吸收，不影响通解的一般性。

推导中，若$\int p(x)dx=\ln|\varphi(x)|$，则$e^{\int p(x)dx}=|\varphi(x)|=±\varphi(x)$，代入通解公式：

$$y=±\frac{1}{\varphi(x)}\left(\int±\varphi(x)q(x)dx + C\right)$$

• 积分项中，$±$相乘为正，即$±\cdot±=1$，积分结果不变。
• 常数项中，$±\cdot C$仍为任意常数（记为$D=±C$），通解可写为$y=\frac{1}{\varphi(x)}(\int\varphi(x)q(x)dx + D)$。

因此，绝对值的正负号被任意常数的代数性质（可正可负）吸收，无需保留，简化表达式。

二阶可降阶微分方程中，两种换元（缺变量）的“p”有何区别？为何这样换元？

两种换元的“p”针对方程缺变量的结构设计，核心是降阶（高阶→低阶），区别在于p的“依赖对象”：

方程类型	“p”的定义	区别原因	换元目的
$y''=f(x,y')$（缺y）	$p=y'$（p是x的函数）	方程含x，可直接对x求导，p的变化率是x的函数：$y''=p'$	二阶→一阶（$p'=f(x,p)$）
$y''=f(y,y')$（缺x）	$p=y'$（p是y的函数）	方程不含x，需通过链式法则：$y''=\frac{dp}{dx}=\frac{dp}{dy}\cdot\frac{dy}{dx}=p\cdot\frac{dp}{dy}$	二阶→一阶（$p\frac{dp}{dy}=f(y,p)$）

换元的本质是利用方程的结构特征（缺变量），将高阶方程转化为已知可解的低阶（一阶）形式，降低求解难度。

欧拉方程中，“$x=e^t$换元后还原”的原因，以及两种类型（缺变量、变系数）的区别？

• 换元后还原的原因：
  欧拉方程是变系数线性方程（系数为$x^k$），通过$x=e^t$（$t=\ln x$）换元，可将变系数→常系数（如二阶欧拉方程→二阶常系数线性方程），但最终需用原变量$x$表示解，故通过$t=\ln x$还原（如$e^t=x$，$\sin t=\sin(\ln x)$）。

• 与二阶可降阶的区别：

  • 二阶可降阶：针对“缺变量”（缺x或y）的方程，通过换元降为一阶，不改变“变系数”属性。
  • 欧拉方程：针对“变系数”（系数为$x^k$）的线性方程，通过换元将变系数→常系数，利用常系数方程的解法（特征方程、算子法）。

一阶线性微分方程的极限问题中，“不定积分→定积分”转化的逻辑？

一阶线性方程的极限问题（如$\lim_{x→+∞}y(x)$）通过“不定积分→定积分”转化，核心是利用定积分的可导性，结合洛必达法则。

• 不定积分的局限性：不定积分$\int f(x)dx$是全体原函数（含任意常数），无法直接求导，难以用洛必达法则处理极限。
• 定积分的优势：定积分$\int_{x_0}^x f(t)dt$是x的函数，且$\frac{d}{dx}\int_{x_0}^x f(t)dt=f(x)$（可导，导数为被积函数）。

转化后，极限表达式为$\lim_{x→+∞}\frac{\int_{x_0}^x f(t)dt + C}{e^{ex}}$，可直接用洛必达法则，利用定积分的可导性，将极限→被积函数与分母导数的比值，简化计算。

微分算子法中，“$\frac{1}{D^2+1}\sin x = x\cdot\frac{1}{2D}\sin x$”的共振修正原理？

这是针对共振情况（非齐次项是齐次方程的解）设计的修正，核心是避免算子在特征根处为0。

• 共振原因：$\sin x$是齐次方程$(D^2+1)y=0$的解（特征根$D=i$），算子$D^2+1$在$D=i$处为0，直接计算$\frac{1}{D^2+1}\sin x$会出现“除以0”的问题。

• 修正方法：
  因特征根为单根（重数1），特解需乘以$x$（单根，乘以$x$；重根则乘以$x^k$，$k$为根的重数），即：

  $$\frac{1}{D^2+1}\sin x = x \cdot \frac{1}{2D}\sin x$$

  （$2D$是$D^2+1$在$D=i$处的导数，单根修正，乘以$x$）。

• 积分算子：$\frac{1}{2D}\sin x = \frac{1}{2}\int\sin x dx$（表示原函数，处理导数的逆运算）。

修正的本质是通过乘以$x^k$消除算子的零点，使特解不再是齐次方程的解，满足非齐次方程。

反思总结

• $\frac{1}{y \ln y} dy = \frac{1}{\tan x} dx$

  • 设$u = \ln y$，则$du = \frac{1}{y} dy$，积分化为：$\int \frac{1}{y \ln y} dy = \int \frac{1}{u} du = \ln |u| + C_1 = \ln |\ln y| + C_1$

  • 设$v = \sin x$，则$dv = \cos x dx$，积分化为：$\int \cot x dx = \int \frac{\cos x}{\sin x} dx = \int \frac{1}{v} dv = \ln |v| + C_2 = \ln |\sin x| + C_2$

• $\arctan u ~d u=\frac{d x}{x}$,

  • 分部积分：$u arctan u-\int \frac{u}{1+u^{2}} d u=\int \frac{d x}{x},$
  • 所以有$u \arctan u-\frac{1}{2} \ln (1+u^{2})=\ln |x|+\ln C$,即$u \arctan u=\ln (C \cdot|x| \sqrt{1+u^{2}})$,

• 一阶线性微分方程不要误用到二阶去了

• 欧拉方程记得考虑x>0 和x<0的情况